Histoires de Mathématiques (programmes)

Ce qui suit est extrait des programmes de mathématiques pour les différents niveaux, disponibles sur le site éduscol du Ministère de l'Éducation Nationale et de la Jeunesse (au 1^er septembre 2020). Pour les cycles 2, 3, 4, les têtes de chapitre sont celles des Repères Annuels de Progression. Pour les classes de seconde, première et terminale, les paragraphes intitulés Histoire des Mathématiques ont été extraits des programmes en vigueur. L'objectif est de relier les programmes au contenu de ce site.

Cycle 2 ►

Cycle 3 ►

Cycle 4 ►

Seconde ►

Première ►

Algèbre

Bien avant de faire l'objet d'une étude formalisée, les suites apparaissent dans deux types de situations : l'approximation de nombres réels (encadrement de pi par Archimède Pi avant Archimède, calcul de la racine carrée chez Héron d'Alexandrie Calculs de racines) et les problèmes de comptage (les lapins de Fibonacci Fibonacci et l'arithmétique, etc.).
Les problèmes décrits dans les livres de Fibonacci, ou chez les savants arabes qui le précèdent, se modélisent avec des suites. Oresme calcule des sommes de termes de suites géométriques au XIV^e siècle Paradoxes de Zénon et séries géométriques Napier et les logarithmes. On trouve chez Diophante Arithmétiques de Diophante, puis chez Al-Khwarizmi Al-Khwarizmi et l'algèbre, des méthodes de résolutions d'équations du second degré Algèbre et géométrie en Mésopotamie. Le travail novateur d'Al-Khwarizmi reste en partie tributaire de la tradition (utilisation de considérations géométriques équivalentes à la forme canonique) et de l'état alors embryonnaire de la notation algébrique, ainsi que de l'absence des nombres négatifs. Les méthodes actuelles sont un aboutissement de ce long cheminement vers un formalisme efficace et concis Notations algébriques Algebre de Bombelli Stevin, Girard et l'algèbre avant Descartes Harriot entre Viète et Descartes.

Analyse

Le calcul différentiel s'est imposé par sa capacité à donner des solutions simples à des problèmes nombreux d'origines variées (cinématique, mécanique, géométrie, optimisation). Le développement d'un calcul des variations chez Leibniz et Newton se fonde sur l'hypothèse que les phénomènes naturels évoluent linéairement quand on leur applique des petites variations. Leurs approches partent de notions intuitives mais floues d'infiniment petit Newton et l'analyse infinitésimale Newton contre Leibniz. Ce n'est que très progressivement que les notions de limites et de différentielles Les Bernoulli et l'analyse Oppositions au calcul différentiel, qui en fondent l'exposé actuel, ont été clarifiées au XIX^e siècle Bolzano, Cauchy et la rigueur.
La notation exponentielle et les fonctions exponentielles apparaissent vers la fin du XVII^e siècle Euler contre Voltaire, procédant d'une volonté de traiter des phénomènes de croissance comparables à ceux des intérêts composés. La modélisation de ces situations fait naturellement apparaître la caractérisation de la fonction exponentielle comme seule fonction vérifiant l'équation différentielle y'=y et la condition initiale y(0)=1.
La trigonométrie a été utilisée chez les Anciens Théorème d'al-Kashi Premières tables trigonométriques Des cordes à la sinusoïde dans des problèmes de natures diverses (géométrie, géographie, astronomie). Elle est à l'époque fondée sur la fonction corde Histoire du zéro Premières tables trigonométriques, d'un maniement bien moins facile que les fonctions sinus et cosinus Des cordes à la sinusoïde de la présentation actuelle.

Géométrie

La notion de vecteur était implicite en mécanique depuis Galilée Théorème de Merton et mouvement accéléré mais a mis longtemps à prendre sa forme actuelle. On observe un lien entre analyse et géométrie en étudiant la façon dont la notion de vecteur apparaît chez Leibniz Logique de Leibniz au cours de ses recherches sur l'élaboration d'un calcul des variations. Le XIX^e siècle voit l'élaboration conjointe de ce qui deviendra le produit scalaire et de la notion de travail en physique Grassmann et les vecteurs.
Le calcul vectoriel et le produit scalaire donnent une approche de la géométrie différente de celle des Anciens, avec l'avantage de combiner vision géométrique et calcul Hamilton et les quaternions.

Les cercles font partie des plus vieux objets mathématiques Pi avant Archimède. La caractérisation du cercle de diamètre AB comme ensemble des points M tels que le triangle AMB soit rectangle en M semble remonter à Thalès Théorème de Thalès et applications. Mais ce n'est qu'au XVII^e siècle que Descartes élabore la méthode des coordonnées Descartes, Fermat et les coordonnées et écrit l'équation d'un cercle en repère orthonormé.

Probabilités et statistique

Les probabilités conditionnelles peuvent être l'objet d'un travail historique en anglais; elles apparaissent en effet dans des travaux de Bayes Statistique judiciaire et de Moivre De Moivre et les probabilités, écrits en anglais au XVIII^e siècle, même si c'est Laplace Laplace et les probabilités qui en a élaboré la notion. Les questions traitées par ces auteurs peuvent parfois surprendre (exemple : quelle est la probabilité que le soleil se lève demain, sachant qu'il s'est levé depuis le commencement du monde ?) ; néanmoins, les probabilités conditionnelles sont omniprésentes dans la vie courante et leur utilisation inappropriée mène facilement à de fausses affirmations.
L'histoire des probabilités contribue à la réflexion sur la codification d'une théorie scientifique. On peut considérer que les origines du « calcul des probabilités » remontent au XVII^e siècle. Pascal, Huygens Probabilités et problème des partis, Moivre De Moivre et les probabilités, Bernoulli Statistique littéraire et loi des grands nombres, Euler, d'Alembert Paradoxe de Saint-Pétersbourg appliquent les notions de variable aléatoire et d'espérance à des problèmes issus de questions liées aux jeux, aux assurances et à l'astronomie Loi de Gauss, statistique et astronomie Problème des trois corps.
Ce n'est que vers 1930 que la description actuelle, en termes d'univers, s'est imposée. Elle permet une formalisation souple dans laquelle l'univers joue le rôle de « source d'aléas » .
La notion de variable aléatoire, présente sans définition précise depuis l'origine de la discipline, apparaît alors comme une fonction définie sur l'univers.

Algorithmique et programmation

De nombreux textes témoignent d'une préoccupation algorithmique au long de l'Histoire Recettes, algorithmes et mathématiques. Lorsqu'un texte historique a une visée algorithmique Arithmétique en Égypte Calculs de racines Triangle de Pascal Cheminement du mot algorithme Comput pascal transformer les méthodes qu'il présente en un algorithme, voire en un programme, ou inversement, est l'occasion de travailler des changements de registre qui donnent du sens au formalisme mathématique.

Numérique et sciences informatiques

Comme toute connaissance scientifique et technique, les concepts de l'informatique ont une histoire et ont été forgés par des personnes. Les algorithmes sont présents dès l'Antiquité Recettes, algorithmes et mathématiques Cheminement du mot algorithme, les machines à calculer apparaissent progressivement au XVII^e siècle Cylindre à picots Machines à calculer Automates de Vaucanson Calcul analogique, les sciences de l'information sont fondées au XIX^e siècle Babbage et l'invention de l'ordinateur La vision d'Ada Lovelace, mais c'est en 1936 qu'apparaît le concept de machine universelle Leibniz, précurseur de l'informatique, capable d'exécuter tous les algorithmes, et que les notions de machine, algorithme, langage et information sont pensées comme un tout cohérent Torres y Quevedo entre Babbage et Turing Intelligence artificielle. Les premiers ordinateurs ont été construits en 1948 Premiers ordinateurs Calcul au début des ordinateurs et leur puissance a ensuite évolué exponentiellement. Parallèlement, les ordinateurs se sont diversifiés dans leur taille, leur forme et leur emploi : téléphones, tablettes, montres connectées, ordinateurs personnels, serveurs, fermes de calcul, méga-ordinateurs. Le réseau internet, développé depuis 1969, relie aujourd'hui ordinateurs et objets connectés.

Terminale ►

Algèbre et géométrie

Véritable porte d'entrée sur l'infini L'infini mathématique, le raisonnement par récurrence Induction et récurrence a été formalisé comme principe de raisonnement par Pascal, et surtout par Peano Symbolisme et axiomes de Peano et ses collaborateurs et avait été anticipé comme mode de démonstration par les mathématiciens anciens (nombres latéraux et diagonaux Pythagore : religion et arithmétique), médiévaux (al-Karaji, As-Samawal, Fibonacci) et renaissants (Maurolico).

Des propriétés arithmétiques du Triangle de Pascal Triangle de Pascal étaient présentes dans les travaux combinatoires des mathématiques indiennes Poètes et mathématiciens en Inde et chinoises. La combinatoire Combinatoire d'un vers latin était un objet de prédilection des récréations mathématiques dès l'Antiquité Énigmes algébriques et fausse position et est encore présente chez des arithméticiens du XIX^e siècle (Lucas, Delannoy, Laisant Mathématiques amusantes, selon Lucas et Laisant). Il est par ailleurs pertinent de souligner le développement récent des « mathématiques discrètes », motivé notamment par l'informatique et l'intelligence artificielle Intelligence artificielle .

Les concepts sous-jacents à la notion de vecteur Grassmann et les vecteurs apparaissent comme modèles physiques dynamiques longtemps avant leur formalisation. On trouve un concept de force et la composition des forces chez Newton; ces notions, comme celles de vitesse, sont présentes dans le calcul géométrique de Leibniz.

Au XIX^e siècle, la notion de vecteur va émerger comme objet algébrique et géométrique, comme transformation ou comme outil de repérage. Hamilton construit les vecteurs par une approche algébrique Hamilton et les quaternions. Dans sa théorie des forces et des marées de 1839, Grassmann Grassmann et les vecteurs propose une approche géométrique qui étend à l'espace la notion de vecteur et lui associe des règles de calcul algébrique, notamment un « produit linéaire » utilisant la projection orthogonale et qui deviendra notre produit scalaire. À la fin du siècle, des auteurs proches des mathématiques comme de la physique (Maxwell, Gibbs, Heaviside ou Peano) dégagent les principes du calcul vectoriel à trois dimensions ou plus, lui donnant une dimension dynamique tout en établissant la structure d'espace vectoriel.